درس النهايات والاتصال

📘 درس الرياضيات: النهايات والاتصال

📚 السنة الثانية باكالوريا – المسالك العلمية

الوحدة: التحليل – الدوال

✅ تقديم عام:

يُعدّ مفهوم النهاية (limite) من المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وهو الأساس لفهم الاتصال (continuité)، ثم الاشتقاق لاحقًا.

نتناول في هذا الدرس:

• مفهوم النهاية عند نقطة أو عند ±∞
• الحالات الخاصة (نهايات غير موجودة أو غير منتهية)
• الاتصال عند نقطة
• الربط بين النهاية والاتصال

🧠 I. مفهوم النهاية:

📌 1. نهاية دالة عند عدد حقيقي a:

نقول أن: lim(x→a) f(x) = ℓ إذا اقتربت f(x) من ℓ عندما تقترب x من a (من الجهتين).

✅ مثال:
إذا كانت f(x) = (x² - 1)/(x - 1)، فإن:
lim(x→1) f(x) = lim(x→1) (x + 1) = 2

📌 2. نهاية دالة عند ±∞:

إذا كانت الدالة f(x) تقترب من ℓ عندما x → +∞ أو x → -∞ فنكتب:
lim(x→+∞) f(x) = ℓ
lim(x→-∞) f(x) = ℓ

✅ مثال:
f(x) = 1/x
lim(x→+∞) f(x) = 0
lim(x→0⁺) f(x) = +∞

⚠️ II. الحالات غير المحددة (formes indéterminées):

بعض النهايات تؤدي إلى أشكال غير محددة مثل:

• 0/0
• ∞/∞
• ∞ - ∞
• 0 × ∞
• ∞⁰
• 0⁰
• 1^∞

لحلها نستخدم: التحليل، توحيد المقامات، قواعد مشهورة، تغيير المتغير.

🔗 III. الاتصال (Continuité):

📌 تعريف:

الدالة f(x) متصلة عند x = a إذا تحقق:

• f(a) معرفة
• lim(x→a) f(x) موجودة
• lim(x→a) f(x) = f(a)

✅ مثال:
f(x) = x² → متصلة على ℝ
لكن f(x) = (x² - 1)/(x - 1) غير متصلة في x = 1 لأنها غير معرفة هناك.

🧮 IV. خاصيات النهايات والاتصال:

1. خاصيات النهايات:

• lim(f + g) = lim f + lim g
• lim(f × g) = lim f × lim g
• lim(f / g) = lim f / lim g (إذا نهاية المقام ≠ 0)

2. خاصيات الاتصال:

• مجموع أو جداء دالتين متصلتين = دالة متصلة
• تركيب دالتين متصلتين = دالة متصلة
• الدوال المرجعية مثل: x²، sin(x)، ln(x)، e^x كلها متصلة في مجالات تعريفها

📌 خلاصة الدرس:

• النهاية تقيس سلوك الدالة عند الاقتراب من نقطة أو ∞
• النهاية شرط ضروري للاتصال، لكنها ليست كافية وحدها
• الاتصال يعني غياب "انقطاع" في التمثيل البياني
• النهايات تُستخدم لتحليل تغيرات الدوال ودراسة الاشتقاق والتكامل لاحقًا

📎 إعداد: AlloTaalim – دروس الرياضيات – الثانية باكالوريا