📘 درس: مبادئ في المنطق
🔹 1. عبارة منطقية - المقصود:
العبارة الجملية إما تكون صحيحة وإما خاطئة (لكنها ليست الاثنتين معًا). وتسمى عبارة ونرمز لها بـ p أو q أو r. صحيحة: إذا كانت نتيجتها صحيحة. خاطئة: إذا كانت نتيجتها غير صحيحة. نرمز لقيمة الصواب بـ 1، ولقيمة الخطأ بـ 0.
✅ أمثلة:
- 7 عدد فردي: صحيحة ⇨ القيمة = 1
- 3 عدد زوجي: خاطئة ⇨ القيمة = 0
🔹 2. أشكال العبارات:
العبارات المنطقية تأخذ عدة أشكال، منها:
- عبارات عددية: مثلا: "n عدد زوجي ⇔ ∃ k ∈ ℕ such that n = 2k"
- عبارات جبرية: مثلا: "x² ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ"
- عبارات هندسية: مثلا: "قطرا متوازي الأضلاع يتقاطعان في المنتصف"
🔹 3. الكمّيات (Quantificateurs):
في المنطق الرياضي، نستخدم الرموز لتحديد وجود أو شمول عنصر معين داخل مجموعة:
- ∀: لكل، لجميع العناصر
- ∃: يوجد، هناك على الأقل عنصر
مثال: ∃x ∈ ℝ such that x² = 4 ⇨ صحيحة لأن x=2 أو x= -2 تحققها.
🔸 II - الروابط المنطقية (connecteurs):
1. النفي (négation):
إذا كانت لدينا عبارة p، فإن نفيها هو "ليس p" ونرمز لها بـ ¬p.
| p | ¬p |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
2. العطف (conjonction):
العبارة p ∧ q صحيحة فقط إذا كانت كل من p و q صحيحتين معًا.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |