Les ensembles de nombres IN, Z, Q, ID et IR
- مرسلة بواسطة : Mars
- في : يوليو 29, 2025
I- Les ensembles N, Z, D, Q et R
1- L'ensemble N (nombres entiers naturels)
Les nombres entiers naturels forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers naturels. On le note N.
On écrit : N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
On dit que N est écrit en extension (énumération des éléments).
2- L'ensemble Z (nombres entiers relatifs)
Les nombres entiers relatifs regroupent les entiers naturels et leurs opposés.
On le note Z.
On écrit : Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
3- L'ensemble D (nombres décimaux)
L'ensemble D contient tous les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d’un nombre à virgule avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Exemples : 2,5 ; -3,75 ; 0,125 ; 4 (car 4 = 4,0)
4- L'ensemble Q (nombres rationnels)
Un nombre est dit rationnel s’il peut s’écrire comme le quotient de deux entiers :
a / b avec a ∈ Z et b ∈ N* (b ≠ 0).
Exemples : 1/2, -4/3, 0, 5 = 5/1, 0,25 = 1/4
5- L'ensemble R (nombres réels)
L’ensemble R regroupe tous les nombres rationnels (Q) et les nombres irrationnels (qui ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction, comme π ou √2).
Donc : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
II- Règles de calculs
1- Les fractions
Une fraction est un quotient de deux entiers : a / b avec b ≠ 0.
Elle peut être simplifiée ou transformée en nombre décimal.
Exemples :
- 4/6 = 2/3
- 3/2 = 1,5
2- Les racines carrées
La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est égal à a.
On note : √a
Exemples :
- √9 = 3
- √16 = 4
- √2 ≈ 1,41 (irrationnel)
3- Les identités remarquables
Elles permettent de développer et factoriser rapidement :
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- (a + b)(a - b) = a2 - b2
4- Les puissances de 10
Les puissances de 10 sont très utilisées pour écrire les grands ou petits nombres.
- 101 = 10
- 102 = 100
- 10-2 = 0,01
5- L’écriture scientifique
Elle sert à représenter les grands ou petits nombres sous la forme :
a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n ∈ Z
Exemples :
- 1500 = 1,5 × 103
- 0,0045 = 4,5 × 10-3
III- Exercices
Exercice 1 :
Classer les nombres suivants dans les ensembles N, Z, D, Q, R :
4 ; -3 ; 2.5 ; √2 ; 0 ; -7.8 ; 1/3
Exercice 2 :
Simplifier les fractions suivantes :
- 18/24
- 45/60
- 105/140
Exercice 3 :
Calculer les racines carrées suivantes :
- √49
- √81
- √5 (arrondir à 2 chiffres après la virgule)
Exercice 4 :
Développer les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables :
- (x + 5)2
- (3a - 2b)2
- (x + 3)(x - 3)
Exercice 5 :
Écrire en notation scientifique :
- 23 000
- 0,00072
- 6 500 000
Exercice 6 :
Compléter les égalités :
- 103 = ...
- 10-2 = ...
- 100 = ...
Résumé : Relations entre les ensembles
| Ensemble | Nom | Exemples |
|---|---|---|
| N | Entiers naturels | 0, 1, 2, 3, ... |
| Z | Entiers relatifs | ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... |
| D | Décimaux | 1.2 ; -3.5 ; 0 ; 7 |
| Q | Rationnels | 2/3 ; 0.75 ; -4 ; 1 |
| R | Réels | π ; √2 ; -3 ; 0 ; 1.5 |
Remarque : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R