Limites et continuité

Limites et continuité

1. La continuité en un point

Définition :

Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et a ∈ I. On dit que f est continue en a si lim_x→a f(x) = f(a).

Définition :

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de type [a, b].
★ On dit que f est continue à droite en a si lim_x→a⁺ f(x) = f(a).
★ On dit que f est continue à gauche en b si lim_x→b⁻ f(x) = f(b).

Proposition :
f est continue en a ⇔ f est continue à droite et à gauche en a.

Remarque :
La partie entière n’est pas continue en tout n ∈ ℤ.

2. La continuité sur un intervalle

Définition :

★ On dit que f est une fonction continue sur un intervalle ouvert I si elle est continue en tout point de I.
★ On dit que f est une fonction sur un intervalle [a, b] si elle est continue sur ]a, b[, continue à droite en a et continue à gauche en b.

Remarques :
★ La partie entière est continue sur l’intervalle [n, n + 1[ pour tout n ∈ ℤ.
★ Si f est continue sur un intervalle I alors elle est continue sur tout intervalle J ⊂ I.

Proposition :
Les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles, les fonctions : x → √x, x → sin x et x → cos x sont continues sur leur domaine de définition.

3. Les opérations sur les fonctions continues

Proposition :
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et λ ∈ ℝ.
★ Les fonctions f + g, λf et f × g sont continues sur I.
★ Si de plus g ne s’annule pas sur I, alors les fonctions 1/g et f/g sont continues sur I.

Proposition :
★ Si f et g sont deux fonctions continues sur I et J respectivement avec f(I) ⊂ J, alors g ◦ f est continue sur I.
★ Soit I un intervalle ouvert, a ∈ I, f une fonction définie sur I avec lim_x→a f(x) = l ∈ ℝ et g est une fonction continue sur J avec f(I) ⊂ J alors lim_x→a (g ◦ f)(x) = g(l).

4. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème :
Soit f une fonction continue sur [a, b] avec a < b.
Si f(a) < 0 et f(b) > 0, alors il existe au moins un réel c ∈ ]a, b[ tel que f(c) = 0.

Remarque :
Si f est strictement croissante sur [a, b], alors c est unique.

5. Limite d'une fonction

Définition :
On dit que lim_x→a f(x) = l signifie que les valeurs de f(x) s’approchent de l lorsque x s’approche de a.

Notation :
- lim_x→a⁺ f(x) est la limite à droite.
- lim_x→a⁻ f(x) est la limite à gauche.

Propriété :
Si lim_x→a⁺ f(x) = lim_x→a⁻ f(x) = l alors lim_x→a f(x) = l.

6. Limites usuelles

Fonctions de référence :

• lim_x→0 sin(x)/x = 1
• lim_x→+∞ 1/x = 0
• lim_x→+∞ ln(x) = +∞
• lim_x→0⁺ 1/x = +∞
• lim_x→+∞ e^x = +∞

7. Asymptotes

Définitions :

• Une droite x = a est une asymptote verticale de f si lim_x→a⁺ f(x) ou lim_x→a⁻ f(x) = ±∞.
• Une droite y = b est une asymptote horizontale si lim_x→±∞ f(x) = b.

Remarque :
Il existe aussi des asymptotes obliques de type y = ax + b si lim_x→±∞ [f(x) - (ax + b)] = 0.