العمليات فالمجموعة R وخاصياتها - جدع مشترك آداب وعلوم إنسانية

العمليات فالمجموعة R وخاصياتها - جدع مشترك آداب وعلوم إنسانية

• مرسلة بواسطة : Mars
• في : يوليو 26, 2025

✅ العمليات في المجموعة ℝ وخاصياتها

المستوى: الجذع المشترك آداب وعلوم إنسانية

الوحدة: الحساب العددي – الدرس الأول

🔶 تمهيد:

يهدف هذا الدرس إلى التمكن من إجراء العمليات على الأعداد الحقيقية ℝ (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة)، والتعرف على خاصيات هذه العمليات، والتي تشكل قاعدة أساسية لحل التعابير الجبرية والمعادلات في ما بعد.

🔷 المحاور الأساسية:

1️⃣ تعريف المجموعة ℝ:

• ℝ تمثل مجموعة الأعداد الحقيقية.
• تحتوي ℝ على:
  • الأعداد الطبيعية ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
  • الأعداد الصحيحة ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...}
  • الأعداد الناطقة ℚ (التي تُكتب على شكل a/b)
  • الأعداد غير الناطقة (مثل √2، π)

2️⃣ العمليات الأساسية في ℝ:

📌 الجمع وخواصه:

لكل a, b, c ∈ ℝ:

• الإبدال: a + b = b + a
• التجميع: (a + b) + c = a + (b + c)
• العنصر المحايد: a + 0 = a
• العنصر المعاكس: a + (-a) = 0

📌 الضرب وخواصه:

لكل a, b, c ∈ ℝ:

• الإبدال: a × b = b × a
• التجميع: (a × b) × c = a × (b × c)
• العنصر المحايد: a × 1 = a
• الامتصاص: a × 0 = 0

📌 التوزيع:

a × (b + c) = a × b + a × c

📌 القسمة:

• إذا كان b ≠ 0 فإن: a ÷ b ∈ ℝ
• كل عدد حقيقي غير منعدم له معكوس مضاعف: a × (1/a) = 1

3️⃣ أمثلة توضيحية:

🧮 أمثلة على الجمع:

• 3 + 5 = 8
• -2 + 4 = 2
• 7 + 0 = 7
• -5 + 5 = 0

🧮 أمثلة على الضرب:

• 4 × 3 = 12
• -2 × 6 = -12
• a × 1 = a
• a × 0 = 0

🧮 أمثلة على التوزيع:

• 2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14
• 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14

4️⃣ تمارين تطبيقية:

🔸 تمرين 1:

أحسب النتائج التالية باستعمال خاصيات العمليات:

1. 7 + (-3) + 2
2. 4 × (5 + 3)
3. (3 + 5) + 2
4. 6 × 0
5. a + 0 + (-a)

🔸 تمرين 2:

أجب بصح أو خطأ، مع التعليل:

1. a + b = b + a ✔️
2. a × 1 = 0 ❌
3. a × (b + c) = ab + ac ✔️
4. a + (b + c) = (a + b) + c ✔️

📌 خلاصة:

• ℝ تمثل مجموعة الأعداد الحقيقية وتشمل ℕ، ℤ، ℚ، والأعداد غير النسبية.
• عمليات الجمع والضرب في ℝ لها خواص: الإبدال، التجميع، المحايد، المعاكس، الامتصاص.
• القسمة معرفة لكل عدد غير منعدم.

📚 واجب منزلي:

1. أكتب ثلاث عمليات في ℝ تُظهر خاصية التجميع في الجمع.
2. برهن أن: (a + b)² = a² + 2ab + b² باستعمال خاصية التوزيع.